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load "misc.quox";
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load "bool.quox";
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load "either.quox";
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namespace nat {
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def dup : 1.ℕ → [ω.ℕ] =
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λ n ⇒
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case1 n return [ω.ℕ] of {
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zero ⇒ [zero];
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succ _, 1.d ⇒ case1 d return [ω.ℕ] of { [d] ⇒ [succ d] }
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};
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def plus : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒
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case1 m return ℕ of {
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zero ⇒ n;
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succ _, 1.p ⇒ succ p
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};
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def timesω : 1.ℕ → ω.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒
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case1 m return ℕ of {
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zero ⇒ zero;
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succ _, 1.t ⇒ plus n t
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};
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def times : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒ case1 dup n return ℕ of { [n] ⇒ timesω m n };
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def pred : 1.ℕ → ℕ = λ n ⇒ case1 n return ℕ of { zero ⇒ zero; succ n ⇒ n };
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def pred-succ : ω.(n : ℕ) → pred (succ n) ≡ n : ℕ =
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λ n ⇒ δ 𝑖 ⇒ n;
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def0 succ-inj : 0.(m n : ℕ) → 0.(succ m ≡ succ n : ℕ) → m ≡ n : ℕ =
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λ m n eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ pred (eq @𝑖);
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def0 IsSucc : 0.ℕ → ★⁰ =
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λ n ⇒ caseω n return ★⁰ of { zero ⇒ False; succ _ ⇒ True };
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def isSucc? : ω.(n : ℕ) → Dec (IsSucc n) =
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λ n ⇒
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caseω n return n' ⇒ Dec (IsSucc n') of {
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zero ⇒ No (IsSucc zero) (λ v ⇒ v);
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succ n ⇒ Yes (IsSucc (succ n)) 'true
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};
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def zero-not-succ : 0.(m : ℕ) → Not (zero ≡ succ m : ℕ) =
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λ m eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ IsSucc (eq @𝑖)) @1 @0 'true;
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def succ-not-zero : 0.(m : ℕ) → Not (succ m ≡ zero : ℕ) =
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λ m eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ IsSucc (eq @𝑖)) 'true;
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def0 not-succ-self : 0.(m : ℕ) → Not (m ≡ succ m : ℕ) =
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λ m ⇒
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caseω m return m' ⇒ Not (m' ≡ succ m' : ℕ) of {
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zero ⇒ zero-not-succ 0;
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succ n, ω.ih ⇒ λ eq ⇒ ih (succ-inj n (succ n) eq)
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}
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def eq? : DecEq ℕ =
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λ m ⇒
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caseω m
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return m' ⇒ ω.(n : ℕ) → Dec (m' ≡ n : ℕ)
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of {
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zero ⇒ λ n ⇒
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caseω n return n' ⇒ Dec (zero ≡ n' : ℕ) of {
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||
zero ⇒ Yes (zero ≡ zero : ℕ) (δ _ ⇒ zero);
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||
succ n' ⇒ No (zero ≡ succ n' : ℕ) (λ eq ⇒ zero-not-succ n' eq)
|
||
};
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||
succ m', ω.ih ⇒ λ n ⇒
|
||
caseω n return n' ⇒ Dec (succ m' ≡ n' : ℕ) of {
|
||
zero ⇒ No (succ m' ≡ zero : ℕ) (λ eq ⇒ succ-not-zero m' eq);
|
||
succ n' ⇒
|
||
dec.elim (m' ≡ n' : ℕ) (λ _ ⇒ Dec (succ m' ≡ succ n' : ℕ))
|
||
(λ y ⇒ Yes (succ m' ≡ succ n' : ℕ) (δ 𝑖 ⇒ succ (y @𝑖)))
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||
(λ n ⇒ No (succ m' ≡ succ n' : ℕ) (λ eq ⇒ n (succ-inj m' n' eq)))
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(ih n')
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}
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};
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def eqb : ω.ℕ → ω.ℕ → Bool = λ m n ⇒ dec.bool (m ≡ n : ℕ) (eq? m n);
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def0 plus-zero : 0.(m : ℕ) → m ≡ plus m 0 : ℕ =
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λ m ⇒
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caseω m return m' ⇒ m' ≡ plus m' 0 : ℕ of {
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zero ⇒ δ _ ⇒ zero;
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succ _, ω.ih ⇒ δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖)
|
||
};
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||
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||
def0 plus-succ : 0.(m n : ℕ) → succ (plus m n) ≡ plus m (succ n) : ℕ =
|
||
λ m n ⇒
|
||
caseω m return m' ⇒ succ (plus m' n) ≡ plus m' (succ n) : ℕ of {
|
||
zero ⇒ δ _ ⇒ succ n;
|
||
succ _, ω.ih ⇒ δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖)
|
||
};
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||
def0 plus-comm : 0.(m n : ℕ) → plus m n ≡ plus n m : ℕ =
|
||
λ m n ⇒
|
||
caseω m return m' ⇒ plus m' n ≡ plus n m' : ℕ of {
|
||
zero ⇒ plus-zero n;
|
||
succ m', ω.ih ⇒
|
||
trans ℕ (succ (plus m' n)) (succ (plus n m')) (plus n (succ m'))
|
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(δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖))
|
||
(plus-succ n m')
|
||
};
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}
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