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load "bool.quox";
load "either.quox";

namespace nat {

def dup : 1.ℕ → [ω.ℕ] =
  λ n ⇒
  case1 n return [ω.ℕ] of {
    zero        ⇒ [zero];
    succ _, 1.d ⇒ case1 d return [ω.ℕ] of { [d] ⇒ [succ d] }
  };

def plus : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
  λ m n ⇒
  case1 m return ℕ of {
    zero        ⇒ n;
    succ _, 1.p ⇒ succ p
  };

def timesω : 1.ℕ → ω.ℕ → ℕ =
  λ m n ⇒
  case1 m return ℕ of {
    zero        ⇒ zero;
    succ _, 1.t ⇒ plus n t
  };

def times : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
  λ m n ⇒ case1 dup n return ℕ of { [n] ⇒ timesω m n };

def pred : 1.ℕ → ℕ = λ n ⇒ case1 n return ℕ of { zero ⇒ zero; succ n ⇒ n };

def pred-succ : ω.(n : ℕ) → pred (succ n) ≡ n : ℕ =
  λ n ⇒ δ 𝑖 ⇒ n;

def0 succ-inj : 0.(m n : ℕ) → 0.(succ m ≡ succ n : ℕ) → m ≡ n : ℕ =
  λ m n eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ pred (eq @𝑖);


def0 IsSucc : 0.ℕ → ★⁰ =
  λ n ⇒ caseω n return ★⁰ of { zero ⇒ False; succ _ ⇒ True };

def isSucc? : ω.(n : ℕ) → Dec (IsSucc n) =
  λ n ⇒
  caseω n return n' ⇒ Dec (IsSucc n') of {
    zero   ⇒ No  (IsSucc zero)      (λ v ⇒ v);
    succ n ⇒ Yes (IsSucc (succ n)) 'true
  };

def zero-not-succ : 0.(m : ℕ) → Not (zero ≡ succ m : ℕ) =
  λ m eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ IsSucc (eq @𝑖)) @1 @0 'true;

def succ-not-zero : 0.(m : ℕ) → Not (succ m ≡ zero : ℕ) =
  λ m eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ IsSucc (eq @𝑖)) 'true;


def0 not-succ-self : 0.(m : ℕ) → Not (m ≡ succ m : ℕ) =
  λ m ⇒
  caseω m return m' ⇒ Not (m' ≡ succ m' : ℕ) of {
    zero         ⇒ zero-not-succ 0;
    succ n, ω.ih ⇒ λ eq ⇒ ih (succ-inj n (succ n) eq)
  }


def eq? : DecEq ℕ =
  λ m ⇒
  caseω m
  return m' ⇒ ω.(n : ℕ) → Dec (m' ≡ n : ℕ)
  of {
    zero ⇒ λ n ⇒
      caseω n return n' ⇒ Dec (zero ≡ n' : ℕ) of {
        zero    ⇒ Yes (zero ≡ zero    : ℕ) (δ _ ⇒ zero);
        succ n' ⇒ No  (zero ≡ succ n' : ℕ) (λ eq ⇒ zero-not-succ n' eq)
      };
    succ m', ω.ih ⇒ λ n ⇒
      caseω n return n' ⇒ Dec (succ m' ≡ n' : ℕ) of {
        zero    ⇒ No (succ m' ≡ zero : ℕ) (λ eq ⇒ succ-not-zero m' eq);
        succ n' ⇒
          dec.elim (m' ≡ n' : ℕ) (λ _ ⇒ Dec (succ m' ≡ succ n' : ℕ))
            (λ y ⇒ Yes (succ m' ≡ succ n' : ℕ) (δ 𝑖 ⇒ succ (y @𝑖)))
            (λ n ⇒ No  (succ m' ≡ succ n' : ℕ) (λ eq ⇒ n (succ-inj m' n' eq)))
            (ih n')
      }
  };

def eqb : ω.ℕ → ω.ℕ → Bool = λ m n ⇒ dec.bool (m ≡ n : ℕ) (eq? m n);


def0 plus-zero : 0.(m : ℕ) → m ≡ plus m 0 : ℕ =
  λ m ⇒
  caseω m return m' ⇒ m' ≡ plus m' 0 : ℕ of {
    zero         ⇒ δ _ ⇒ zero;
    succ _, ω.ih ⇒ δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖)
  };

def0 plus-succ : 0.(m n : ℕ) → succ (plus m n) ≡ plus m (succ n) : ℕ =
  λ m n ⇒
  caseω m return m' ⇒ succ (plus m' n) ≡ plus m' (succ n) : ℕ of {
    zero         ⇒ δ _ ⇒ succ n;
    succ _, ω.ih ⇒ δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖)
  };

def0 plus-comm : 0.(m n : ℕ) → plus m n ≡ plus n m : ℕ =
  λ m n ⇒
  caseω m return m' ⇒ plus m' n ≡ plus n m' : ℕ of {
    zero ⇒ plus-zero n;
    succ m', ω.ih ⇒
      trans ℕ (succ (plus m' n)) (succ (plus n m')) (plus n (succ m'))
        (δ 𝑖 ⇒ succ (ih @𝑖))
        (plus-succ n m')
  };

}