quox/examples/bool.quox

load "misc.quox";

namespace bool {

def0 Bool : ★ = {true, false};

def if-dep : 0.(P : Bool → ★) → (b : Bool) → ω.(P 'true) → ω.(P 'false) → P b =
  λ P b t f ⇒ case b return b' ⇒ P b' of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f };

def if : 0.(A : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.A → A =
  λ A ⇒ if-dep (λ _ ⇒ A);

def0 if-same : (A : ★) → (b : Bool) → (x : A) → if A b x x ≡ x : A =
  λ A b x ⇒ if-dep (λ b' ⇒ if A b' x x ≡ x : A) b (δ _ ⇒ x) (δ _ ⇒ x);

def if2 : 0.(A B : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.B → if¹ ★ b A B =
  λ A B ⇒ if-dep (λ b ⇒ if-dep¹ (λ _ ⇒ ★) b A B);

def0 T : Bool → ★ = λ b ⇒ if¹ ★ b True False;

def boolω : Bool → [ω.Bool] =
  λ b ⇒ if [ω.Bool] b ['true] ['false];

def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
  λ eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ T (eq @𝑖)) 'true;


-- [todo] infix
def and : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a b 'false;
def or  : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a 'true b;

}

def0 Bool = bool.Bool;