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load "misc.quox";
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namespace bool {
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def0 Bool : ★₀ = {true, false};
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def boolω : 1.Bool → [ω.Bool] =
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λ b ⇒ case1 b return [ω.Bool] of { 'true ⇒ ['true]; 'false ⇒ ['false] };
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def if : 0.(A : ★₀) → 1.Bool → ω.A → ω.A → A =
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λ A b t f ⇒ case1 b return A of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f };
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-- [todo]: universe lifting
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def0 If : 1.Bool → 0.★₀ → 0.★₀ → ★₀ =
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λ b T F ⇒ case1 b return ★₀ of { 'true ⇒ T; 'false ⇒ F };
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def0 T : ω.Bool → ★₀ = λ b ⇒ If b True False;
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def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
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λ eq ⇒ coe [i ⇒ T (eq @i)] @0 @1 'true;
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-- [todo] infix
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def and : 1.Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a b 'false;
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def or : 1.Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a 'true b;
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}
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def0 Bool = bool.Bool;
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