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def dup-ℕ : 1.ℕ → [ω.ℕ] =
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λ n ⇒
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case1 n return [ω.ℕ] of {
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zero ⇒ [zero];
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succ _, 1.d ⇒
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case1 d return [ω.ℕ] of { [d] ⇒ [succ d] }
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};
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def plus : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒
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case1 m return ℕ of {
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zero ⇒ n;
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succ _, 1.p ⇒ succ p
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};
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def times-ω : 1.ℕ → ω.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒
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case1 m return ℕ of {
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zero ⇒ zero;
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succ _, 1.t ⇒ plus n t
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};
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def times : 1.ℕ → 1.ℕ → ℕ =
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λ m n ⇒
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case1 dup-ℕ n return ℕ of {
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[n] ⇒ times-ω m n
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};
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def pred : 1.ℕ → ℕ =
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λ n ⇒
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case1 n return ℕ of { zero ⇒ zero; succ n ⇒ n };
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def0 pred-succ : ω.(n : ℕ) → pred (succ n) ≡ n : ℕ =
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λ n ⇒ δ i ⇒ n;
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def0 succ-inj : 0.(m : ℕ) → 0.(n : ℕ) →
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0.(succ m ≡ succ n : ℕ) → m ≡ n : ℕ =
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λ m n eq ⇒ δ i ⇒ pred (eq @i);
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