namespace pair {

def0 Σ : (A : ★) → (0.A → ★) → ★ = λ A B ⇒ (x : A) × B x;

def fst : 0.(A : ★) → 0.(B : 0.A → ★) → ω.(Σ A B) → A =
  λ A B p ⇒ caseω p return A of { (x, _) ⇒ x };

def snd : 0.(A : ★) → 0.(B : 0.A → ★) → ω.(p : Σ A B) → B (fst A B p) =
  λ A B p ⇒ caseω p return p' ⇒ B (fst A B p') of { (_, y) ⇒ y };

def uncurry :
    0.(A : ★) → 0.(B : 0.A → ★) → 0.(C : 0.(x : A) → 0.(B x) → ★) →
    (f : (x : A) → (y : B x) → C x y) →
    (p : Σ A B) → C (fst A B p) (snd A B p) =
  λ A B C f p ⇒
    case p return p' ⇒ C (fst A B p') (snd A B p') of { (x, y) ⇒ f x y };

def uncurry' :
    0.(A B C : ★) → (A → B → C) → (A × B) → C =
  λ A B C ⇒ uncurry A (λ _ ⇒ B) (λ _ _ ⇒ C);

def curry :
    0.(A : ★) → 0.(B : 0.A → ★) → 0.(C : 0.(Σ A B) → ★) →
    (f : (p : Σ A B) → C p) → (x : A) → (y : B x) → C (x, y) =
  λ A B C f x y ⇒ f (x, y);

def curry' :
    0.(A B C : ★) → ((A × B) → C) → A → B → C =
  λ A B C ⇒ curry A (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ C);

def0 fst-snd :
    (A : ★) → (B : 0.A → ★) →
    (p : Σ A B) → p ≡ (fst A B p, snd A B p) : Σ A B =
  λ A B p ⇒
    case p
    return p' ⇒ p' ≡ (fst A B p', snd A B p') : Σ A B
    of { (x, y) ⇒ δ 𝑖 ⇒ (x, y) };

def map :
    0.(A A' : ★) →
    0.(B : 0.A → ★) → 0.(B' : 0.A' → ★) →
    (f : A → A') → (g : 0.(x : A) → (B x) → B' (f x)) →
    (Σ A B) → Σ A' B' =
  λ A A' B B' f g p ⇒
    case p return Σ A' B' of { (x, y) ⇒ (f x, g x y) };

def map' : 0.(A A' B B' : ★) → (A → A') → (B → B') → (A × B) → A' × B' =
  λ A A' B B' f g ⇒ map A A' (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ B') f (λ _ ⇒ g);

}

def0 Σ   = pair.Σ;
def  fst = pair.fst;
def  snd = pair.snd;