def0 Qty : ★ = {"zero", one, any}

def dup : Qty → [ω.Qty] =
  λ π ⇒ case π return [ω.Qty] of {
    'zero ⇒ ['zero];
    'one  ⇒ ['one];
    'any  ⇒ ['any];
  }

def drop : 0.(A : ★) → Qty → A → A =
  λ A π x ⇒ case π return A of {
    'zero ⇒ x;
    'one  ⇒ x;
    'any  ⇒ x;
  }

def if-zero : 0.(A : ★) → Qty → ω.A → ω.A → A =
  λ A π z nz ⇒
  case π return A of { 'zero ⇒ z; 'one ⇒ nz; 'any ⇒ nz }

def plus : Qty → Qty → Qty =
  λ π ρ ⇒
  case π return Qty of {
    'zero ⇒ ρ;
    'one  ⇒ if-zero Qty ρ 'one 'any;
    'any  ⇒ drop Qty ρ 'any;
  }

def times : Qty → Qty → Qty =
  λ π ρ ⇒
  case π return Qty of {
    'zero ⇒ drop Qty ρ 'zero;
    'one  ⇒ ρ;
    'any  ⇒ if-zero Qty ρ 'zero 'any;
  }

def0 FUN : Qty → (A : ★) → (A → ★) → ★ =
  λ π A B ⇒
  case π return ★ of {
    'zero ⇒ 0.(x : A) → B x;
    'one  ⇒ 1.(x : A) → B x;
    'any  ⇒ ω.(x : A) → B x;
  }

def0 Fun : Qty → ★ → ★ → ★ =
  λ π A B ⇒ FUN π A (λ _ ⇒ B)

def0 Box : Qty → ★ → ★ =
  λ π A ⇒
  case π return ★ of {
    'zero ⇒ [0.A];
    'one  ⇒ [1.A];
    'any  ⇒ [ω.A];
  }

def0 unbox : (π : Qty) → (A : ★) → Box π A → A =
  λ π A ⇒
  case π return π' ⇒ Box π' A → A of {
    'zero ⇒ λ x ⇒ case x return A of { [x] ⇒ x };
    'one  ⇒ λ x ⇒ case x return A of { [x] ⇒ x };
    'any  ⇒ λ x ⇒ case x return A of { [x] ⇒ x };
  }

def0 unbox0 = unbox 'zero
def0 unbox1 = unbox 'one
def0 unboxω = unbox 'any

def apply : (π : Qty) → 0.(A : ★) → 0.(B : A → ★) →
            FUN π A B → (x : Box π A) → B (unbox π A x) =
  λ π A B ⇒
  case π
  return π' ⇒ FUN π' A B → (x : Box π' A) → B (unbox π' A x)
  of {
    'zero ⇒ λ f x ⇒ case x return x' ⇒ B (unbox0 A x') of { [x] ⇒ f x };
    'one  ⇒ λ f x ⇒ case x return x' ⇒ B (unbox1 A x') of { [x] ⇒ f x };
    'any  ⇒ λ f x ⇒ case x return x' ⇒ B (unboxω A x') of { [x] ⇒ f x };
  }