namespace pair {

def0 Σ : (A : ★) → (A → ★) → ★ = λ A B ⇒ (x : A) × B x;

{-
-- now builtins
def fst : 0.(A : ★) → 0.(B : A → ★) → ω.(Σ A B) → A =
  λ A B p ⇒ caseω p return A of { (x, _) ⇒ x };

def snd : 0.(A : ★) → 0.(B : A → ★) → ω.(p : Σ A B) → B (fst A B p) =
  λ A B p ⇒ caseω p return p' ⇒ B (fst A B p') of { (_, y) ⇒ y };
-}

def uncurry :
    0.(A : ★) → 0.(B : A → ★) → 0.(C : (x : A) → (B x) → ★) →
    (f : (x : A) → (y : B x) → C x y) →
    (p : Σ A B) → C (fst p) (snd p) =
  λ A B C f p ⇒
    case p return p' ⇒ C (fst p') (snd p') of { (x, y) ⇒ f x y };

def uncurry' :
    0.(A B C : ★) → (A → B → C) → (A × B) → C =
  λ A B C ⇒ uncurry A (λ _ ⇒ B) (λ _ _ ⇒ C);

def curry :
    0.(A : ★) → 0.(B : A → ★) → 0.(C : (Σ A B) → ★) →
    (f : (p : Σ A B) → C p) → (x : A) → (y : B x) → C (x, y) =
  λ A B C f x y ⇒ f (x, y);

def curry' :
    0.(A B C : ★) → (A × B → C) → A → B → C =
  λ A B C ⇒ curry A (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ C);

def0 fst-snd :
    (A : ★) → (B : A → ★) →
    (p : Σ A B) → p ≡ (fst p, snd p) : Σ A B =
  λ A B p ⇒
    case p
    return p' ⇒ p' ≡ (fst p', snd p') : Σ A B
    of { (x, y) ⇒ δ 𝑖 ⇒ (x, y) };

def0 fst-eq :
    (A : ★) → (B : A → ★) →
    (p q : Σ A B) → p ≡ q : Σ A B → fst p ≡ fst q : A =
  λ A B p q eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ fst (eq @𝑖);

def0 snd-eq :
    (A : ★) → (B : A → ★) →
    (p q : Σ A B) → (eq : p ≡ q : Σ A B) →
    Eq (𝑖 ⇒ B (fst-eq A B p q eq @𝑖)) (snd p) (snd q) =
  λ A B p q eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ snd (eq @𝑖);

def map :
    0.(A A' : ★) →
    0.(B : A → ★) → 0.(B' : A' → ★) →
    (f : A → A') → (g : 0.(x : A) → (B x) → B' (f x)) →
    Σ A B → Σ A' B' =
  λ A A' B B' f g p ⇒
    case p return Σ A' B' of { (x, y) ⇒ (f x, g x y) };

def map' : 0.(A A' B B' : ★) → (A → A') → (B → B') → (A × B) → A' × B' =
  λ A A' B B' f g ⇒ map A A' (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ B') f (λ _ ⇒ g);

def map-fst : 0.(A A' B : ★) → (A → A') → A × B → A' × B =
  λ A A' B f ⇒ map' A A' B B f (λ x ⇒ x);

def map-snd : 0.(A B B' : ★) → (B → B') → A × B → A × B' =
  λ A B B' f ⇒ map' A A B B' (λ x ⇒ x) f;

}

def0 Σ   = pair.Σ;
-- def  fst = pair.fst;
-- def  snd = pair.snd;