crude but effective stratification
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42aa07c9c8
31 changed files with 817 additions and 582 deletions
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@ -2,19 +2,19 @@ load "misc.quox";
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namespace bool {
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def0 Bool : ★₀ = {true, false};
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def0 Bool : ★⁰ = {true, false};
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def boolω : 1.Bool → [ω.Bool] =
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λ b ⇒ case1 b return [ω.Bool] of { 'true ⇒ ['true]; 'false ⇒ ['false] };
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def if : 0.(A : ★₀) → 1.Bool → ω.A → ω.A → A =
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def if : 0.(A : ★⁰) → 1.Bool → ω.A → ω.A → A =
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λ A b t f ⇒ case1 b return A of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f };
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-- [todo]: universe lifting
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def0 If : 1.Bool → 0.★₀ → 0.★₀ → ★₀ =
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λ b T F ⇒ case1 b return ★₀ of { 'true ⇒ T; 'false ⇒ F };
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def0 If : 1.Bool → 0.★⁰ → 0.★⁰ → ★⁰ =
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λ b T F ⇒ case1 b return ★⁰ of { 'true ⇒ T; 'false ⇒ F };
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def0 T : ω.Bool → ★₀ = λ b ⇒ If b True False;
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def0 T : ω.Bool → ★⁰ = λ b ⇒ If b True False;
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def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
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λ eq ⇒ coe (i ⇒ T (eq @i)) 'true;
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@ -3,22 +3,22 @@ load "bool.quox";
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namespace either {
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def0 Tag : ★₀ = {left, right};
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def0 Tag : ★⁰ = {left, right};
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def0 Payload : 0.★₀ → 0.★₀ → 1.Tag → ★₀ =
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λ A B tag ⇒ case1 tag return ★₀ of { 'left ⇒ A; 'right ⇒ B };
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def0 Payload : 0.★⁰ → 0.★⁰ → 1.Tag → ★⁰ =
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λ A B tag ⇒ case1 tag return ★⁰ of { 'left ⇒ A; 'right ⇒ B };
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def0 Either : 0.★₀ → 0.★₀ → ★₀ =
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def0 Either : 0.★⁰ → 0.★⁰ → ★⁰ =
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λ A B ⇒ (tag : Tag) × Payload A B tag;
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def Left : 0.(A B : ★₀) → 1.A → Either A B =
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def Left : 0.(A B : ★⁰) → 1.A → Either A B =
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λ A B x ⇒ ('left, x);
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def Right : 0.(A B : ★₀) → 1.B → Either A B =
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def Right : 0.(A B : ★⁰) → 1.B → Either A B =
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λ A B x ⇒ ('right, x);
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def elim' :
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0.(A B : ★₀) → 0.(P : 0.(Either A B) → ★₀) →
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0.(A B : ★⁰) → 0.(P : 0.(Either A B) → ★⁰) →
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ω.(1.(x : A) → P (Left A B x)) →
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ω.(1.(x : B) → P (Right A B x)) →
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1.(t : Tag) → 1.(a : Payload A B t) → P (t, a) =
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@ -28,7 +28,7 @@ def elim' :
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of { 'left ⇒ f; 'right ⇒ g };
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def elim :
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0.(A B : ★₀) → 0.(P : 0.(Either A B) → ★₀) →
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0.(A B : ★⁰) → 0.(P : 0.(Either A B) → ★⁰) →
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ω.(1.(x : A) → P (Left A B x)) →
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ω.(1.(x : B) → P (Right A B x)) →
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1.(x : Either A B) → P x =
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@ -45,16 +45,16 @@ def Right = either.Right;
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namespace dec {
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def0 Dec : 0.★₀ → ★₀ = λ A ⇒ Either [0.A] [0.Not A];
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def0 Dec : 0.★⁰ → ★⁰ = λ A ⇒ Either [0.A] [0.Not A];
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||||
def Yes : 0.(A : ★₀) → 0.A → Dec A = λ A y ⇒ Left [0.A] [0.Not A] [y];
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||||
def No : 0.(A : ★₀) → 0.(Not A) → Dec A = λ A n ⇒ Right [0.A] [0.Not A] [n];
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||||
def Yes : 0.(A : ★⁰) → 0.A → Dec A = λ A y ⇒ Left [0.A] [0.Not A] [y];
|
||||
def No : 0.(A : ★⁰) → 0.(Not A) → Dec A = λ A n ⇒ Right [0.A] [0.Not A] [n];
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def0 DecEq : 0.★₀ → ★₀ =
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def0 DecEq : 0.★⁰ → ★⁰ =
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λ A ⇒ ω.(x : A) → ω.(y : A) → Dec (x ≡ y : A);
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def elim :
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0.(A : ★₀) → 0.(P : 0.(Dec A) → ★₀) →
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0.(A : ★⁰) → 0.(P : 0.(Dec A) → ★⁰) →
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ω.(0.(y : A) → P (Yes A y)) →
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ω.(0.(n : Not A) → P (No A n)) →
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1.(x : Dec A) → P x =
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@ -63,7 +63,7 @@ def elim :
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(λ y ⇒ case0 y return y' ⇒ P (Left [0.A] [0.Not A] y') of {[y'] ⇒ f y'})
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||||
(λ n ⇒ case0 n return n' ⇒ P (Right [0.A] [0.Not A] n') of {[n'] ⇒ g n'});
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||||
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||||
def bool : 0.(A : ★₀) → 1.(Dec A) → Bool =
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def bool : 0.(A : ★⁰) → 1.(Dec A) → Bool =
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λ A ⇒ elim A (λ _ ⇒ Bool) (λ _ ⇒ 'true) (λ _ ⇒ 'false);
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}
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@ -2,23 +2,23 @@ load "nat.quox";
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namespace list {
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def0 Vec : 0.ℕ → 0.★₀ → ★₀ =
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def0 Vec : 0.ℕ → 0.★⁰ → ★⁰ =
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λ n A ⇒
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caseω n return ★₀ of {
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caseω n return ★⁰ of {
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zero ⇒ {nil};
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succ _, 0.Tail ⇒ A × Tail
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};
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def0 List : 0.★₀ → ★₀ =
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def0 List : 0.★⁰ → ★⁰ =
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λ A ⇒ (len : ℕ) × Vec len A;
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def nil : 0.(A : ★₀) → List A =
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def nil : 0.(A : ★⁰) → List A =
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λ A ⇒ (0, 'nil);
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||||
def cons : 0.(A : ★₀) → 1.A → 1.(List A) → List A =
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||||
def cons : 0.(A : ★⁰) → 1.A → 1.(List A) → List A =
|
||||
λ A x xs ⇒ case1 xs return List A of { (len, elems) ⇒ (succ len, x, elems) };
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||||
def foldr' : 0.(A B : ★₀) →
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||||
def foldr' : 0.(A B : ★⁰) →
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||||
1.B → ω.(1.A → 1.B → B) → 1.(n : ℕ) → 1.(Vec n A) → B =
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λ A B z c n ⇒
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||||
case1 n return n' ⇒ 1.(Vec n' A) → B of {
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@ -28,7 +28,7 @@ def foldr' : 0.(A B : ★₀) →
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λ cons ⇒ case1 cons return B of { (first, rest) ⇒ c first (ih rest) }
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};
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||||
def foldr : 0.(A B : ★₀) → 1.B → ω.(1.A → 1.B → B) → 1.(List A) → B =
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||||
def foldr : 0.(A B : ★⁰) → 1.B → ω.(1.A → 1.B → B) → 1.(List A) → B =
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||||
λ A B z c xs ⇒
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||||
case1 xs return B of { (len, elems) ⇒ foldr' A B z c len elems };
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@ -1,36 +1,36 @@
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def0 True : ★₀ = {true};
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def0 True : ★⁰ = {true};
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def0 False : ★₀ = {};
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def0 Not : 0.★₀ → ★₀ = λ A ⇒ ω.A → False;
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def0 False : ★⁰ = {};
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||||
def0 Not : 0.★⁰ → ★⁰ = λ A ⇒ ω.A → False;
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||||
def void : 0.(A : ★₀) → 0.False → A =
|
||||
def void : 0.(A : ★⁰) → 0.False → A =
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||||
λ A v ⇒ case0 v return A of { };
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||||
def0 Pred : 0.★₀ → ★₁ = λ A ⇒ 0.A → ★₀;
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||||
def0 Pred : 0.★⁰ → ★¹ = λ A ⇒ 0.A → ★⁰;
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||||
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||||
def0 All : 0.(A : ★₀) → 0.(Pred A) → ★₁ =
|
||||
def0 All : 0.(A : ★⁰) → 0.(Pred A) → ★¹ =
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λ A P ⇒ 1.(x : A) → P x;
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def cong :
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0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) → 1.(p : All A P) →
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||||
0.(A : ★⁰) → 0.(P : Pred A) → 1.(p : All A P) →
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||||
0.(x y : A) → 1.(xy : x ≡ y : A) → Eq (𝑖 ⇒ P (xy @𝑖)) (p x) (p y) =
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||||
λ A P p x y xy ⇒ δ 𝑖 ⇒ p (xy @𝑖);
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||||
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def0 eq-f :
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0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) →
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||||
0.(A : ★⁰) → 0.(P : Pred A) →
|
||||
0.(p : All A P) → 0.(q : All A P) →
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||||
0.A → ★₀ =
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||||
0.A → ★⁰ =
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||||
λ A P p q x ⇒ p x ≡ q x : P x;
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def funext :
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0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) → 0.(p q : All A P) →
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||||
0.(A : ★⁰) → 0.(P : Pred A) → 0.(p q : All A P) →
|
||||
1.(All A (eq-f A P p q)) → p ≡ q : All A P =
|
||||
λ A P p q eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ λ x ⇒ eq x @𝑖;
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||||
def sym : 0.(A : ★₀) → 0.(x y : A) → 1.(x ≡ y : A) → y ≡ x : A =
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||||
def sym : 0.(A : ★⁰) → 0.(x y : A) → 1.(x ≡ y : A) → y ≡ x : A =
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||||
λ A x y eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ comp A (eq @0) @𝑖 { 0 𝑗 ⇒ eq @𝑗; 1 _ ⇒ eq @0 };
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||||
def trans : 0.(A : ★₀) → 0.(x y z : A) →
|
||||
def trans : 0.(A : ★⁰) → 0.(x y z : A) →
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||||
ω.(x ≡ y : A) → ω.(y ≡ z : A) → x ≡ z : A =
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||||
λ A x y z eq1 eq2 ⇒ δ 𝑖 ⇒
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comp A (eq1 @𝑖) @𝑖 { 0 _ ⇒ eq1 @0; 1 𝑗 ⇒ eq2 @𝑗 };
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@ -37,8 +37,8 @@ def0 succ-inj : 0.(m n : ℕ) → 0.(succ m ≡ succ n : ℕ) → m ≡ n : ℕ
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λ m n eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ pred (eq @𝑖);
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||||
def0 IsSucc : 0.ℕ → ★₀ =
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λ n ⇒ caseω n return ★₀ of { zero ⇒ False; succ _ ⇒ True };
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||||
def0 IsSucc : 0.ℕ → ★⁰ =
|
||||
λ n ⇒ caseω n return ★⁰ of { zero ⇒ False; succ _ ⇒ True };
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||||
def isSucc? : ω.(n : ℕ) → Dec (IsSucc n) =
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||||
λ n ⇒
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@ -1,35 +1,35 @@
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namespace pair {
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def0 Σ : 0.(A : ★₀) → 0.(0.A → ★₀) → ★₀ = λ A B ⇒ (x : A) × B x;
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||||
def0 Σ : 0.(A : ★⁰) → 0.(0.A → ★⁰) → ★⁰ = λ A B ⇒ (x : A) × B x;
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||||
def fst : 0.(A : ★₀) → 0.(B : 0.A → ★₀) → ω.(Σ A B) → A =
|
||||
def fst : 0.(A : ★⁰) → 0.(B : 0.A → ★⁰) → ω.(Σ A B) → A =
|
||||
λ A B p ⇒ caseω p return A of { (x, _) ⇒ x };
|
||||
|
||||
def snd : 0.(A : ★₀) → 0.(B : 0.A → ★₀) → ω.(p : Σ A B) → B (fst A B p) =
|
||||
def snd : 0.(A : ★⁰) → 0.(B : 0.A → ★⁰) → ω.(p : Σ A B) → B (fst A B p) =
|
||||
λ A B p ⇒ caseω p return p' ⇒ B (fst A B p') of { (_, y) ⇒ y };
|
||||
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||||
def uncurry :
|
||||
0.(A : ★₀) → 0.(B : 0.A → ★₀) → 0.(C : 0.(x : A) → 0.(B x) → ★₀) →
|
||||
0.(A : ★⁰) → 0.(B : 0.A → ★⁰) → 0.(C : 0.(x : A) → 0.(B x) → ★⁰) →
|
||||
1.(f : 1.(x : A) → 1.(y : B x) → C x y) →
|
||||
1.(p : Σ A B) → C (fst A B p) (snd A B p) =
|
||||
λ A B C f p ⇒
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||||
case1 p return p' ⇒ C (fst A B p') (snd A B p') of { (x, y) ⇒ f x y };
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||||
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||||
def uncurry' :
|
||||
0.(A B C : ★₀) → 1.(1.A → 1.B → C) → 1.(A × B) → C =
|
||||
0.(A B C : ★⁰) → 1.(1.A → 1.B → C) → 1.(A × B) → C =
|
||||
λ A B C ⇒ uncurry A (λ _ ⇒ B) (λ _ _ ⇒ C);
|
||||
|
||||
def curry :
|
||||
0.(A : ★₀) → 0.(B : 0.A → ★₀) → 0.(C : 0.(Σ A B) → ★₀) →
|
||||
0.(A : ★⁰) → 0.(B : 0.A → ★⁰) → 0.(C : 0.(Σ A B) → ★⁰) →
|
||||
1.(f : 1.(p : Σ A B) → C p) → 1.(x : A) → 1.(y : B x) → C (x, y) =
|
||||
λ A B C f x y ⇒ f (x, y);
|
||||
|
||||
def curry' :
|
||||
0.(A B C : ★₀) → 1.(1.(A × B) → C) → 1.A → 1.B → C =
|
||||
0.(A B C : ★⁰) → 1.(1.(A × B) → C) → 1.A → 1.B → C =
|
||||
λ A B C ⇒ curry A (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ C);
|
||||
|
||||
def0 fst-snd :
|
||||
0.(A : ★₀) → 0.(B : 0.A → ★₀) →
|
||||
0.(A : ★⁰) → 0.(B : 0.A → ★⁰) →
|
||||
1.(p : Σ A B) → p ≡ (fst A B p, snd A B p) : Σ A B =
|
||||
λ A B p ⇒
|
||||
case1 p
|
||||
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@ -37,14 +37,14 @@ def0 fst-snd :
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of { (x, y) ⇒ δ 𝑖 ⇒ (x, y) };
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||||
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||||
def map :
|
||||
0.(A A' : ★₀) →
|
||||
0.(B : 0.A → ★₀) → 0.(B' : 0.A' → ★₀) →
|
||||
0.(A A' : ★⁰) →
|
||||
0.(B : 0.A → ★⁰) → 0.(B' : 0.A' → ★⁰) →
|
||||
1.(f : 1.A → A') → 1.(g : 0.(x : A) → 1.(B x) → B' (f x)) →
|
||||
1.(Σ A B) → Σ A' B' =
|
||||
λ A A' B B' f g p ⇒
|
||||
case1 p return Σ A' B' of { (x, y) ⇒ (f x, g x y) };
|
||||
|
||||
def map' : 0.(A A' B B' : ★₀) →
|
||||
def map' : 0.(A A' B B' : ★⁰) →
|
||||
1.(1.A → A') → 1.(1.B → B') → 1.(A × B) → A' × B' =
|
||||
λ A A' B B' f g ⇒ map A A' (λ _ ⇒ B) (λ _ ⇒ B') f (λ _ ⇒ g);
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||||
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||||
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