quox/examples/misc.quox

def0 True : ★₀ = {true};

def0 False : ★₀ = {};
def0 Not : 0.★₀ → ★₀ = λ A ⇒ ω.A → False;

def void : 0.(A : ★₀) → 0.False → A =
  λ A v ⇒ case0 v return A of { };

def0 Pred : 0.★₀ → ★₁ = λ A ⇒ 0.A → ★₀;

def0 All : 0.(A : ★₀) → 0.(Pred A) → ★₁ =
  λ A P ⇒ 1.(x : A) → P x;

def cong :
    0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) → 1.(p : All A P) →
    0.(x y : A) → 1.(xy : x ≡ y : A) → Eq [𝑖 ⇒ P (xy @𝑖)] (p x) (p y) =
  λ A P p x y xy ⇒ δ 𝑖 ⇒ p (xy @𝑖);

def0 eq-f :
    0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) →
    0.(p : All A P) → 0.(q : All A P) →
    0.A → ★₀ =
  λ A P p q x ⇒ p x ≡ q x : P x;

def funext :
    0.(A : ★₀) → 0.(P : Pred A) → 0.(p q : All A P) →
    1.(All A (eq-f A P p q)) → p ≡ q : All A P =
  λ A P p q eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ λ x ⇒ eq x @𝑖;

def sym : 0.(A : ★₀) → 0.(x y : A) → 1.(x ≡ y : A) → y ≡ x : A =
  λ A x y eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ comp [A] @0 @1 (eq @0) @𝑖 { 0 𝑗 ⇒ eq @𝑗; 1 _ ⇒ eq @0 };

def trans : 0.(A : ★₀) → 0.(x y z : A) →
            ω.(x ≡ y : A) → ω.(y ≡ z : A) → x ≡ z : A =
  λ A x y z eq1 eq2 ⇒ δ 𝑖 ⇒
    comp [A] @0 @1 (eq1 @𝑖) @𝑖 { 0 _ ⇒ eq1 @0; 1 𝑗 ⇒ eq2 @0 };