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load "misc.quox"
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namespace bool {
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def0 Bool : ★ = {true, false}
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def if-dep : 0.(P : Bool → ★) → (b : Bool) → ω.(P 'true) → ω.(P 'false) → P b =
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λ P b t f ⇒ case b return b' ⇒ P b' of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f }
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def if : 0.(A : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.A → A =
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λ A ⇒ if-dep (λ _ ⇒ A)
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def0 if-same : (A : ★) → (b : Bool) → (x : A) → if A b x x ≡ x : A =
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λ A b x ⇒ if-dep (λ b' ⇒ if A b' x x ≡ x : A) b (δ _ ⇒ x) (δ _ ⇒ x)
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def if2 : 0.(A B : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.B → if¹ ★ b A B =
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λ A B ⇒ if-dep (λ b ⇒ if¹ ★ b A B)
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def0 T : Bool → ★ = λ b ⇒ if¹ ★ b True False
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def dup! : (b : Bool) → Dup Bool b =
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λ b ⇒
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case b return b' ⇒ Dup Bool b' of {
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'true ⇒ (['true], [δ _ ⇒ ['true]]);
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'false ⇒ (['false], [δ _ ⇒ ['false]])
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}
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def dup : Bool → [ω.Bool] =
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λ b ⇒
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case dup! b return [ω.Bool] of {
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(b!, p0) ⇒ drop0 (b! ≡ [b] : [ω.Bool]) [ω.Bool] p0 b!
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}
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def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
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λ eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ T (eq @𝑖)) 'true
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-- [todo] infix
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def and : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a b 'false
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def or : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a 'true b
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def not : Bool → Bool = λ b ⇒ if Bool b 'false 'true
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def0 not-not : (b : Bool) → not (not b) ≡ b : Bool =
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λ b ⇒ if-dep (λ b ⇒ not (not b) ≡ b : Bool) b (δ _ ⇒ 'true) (δ _ ⇒ 'false)
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}
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def0 Bool = bool.Bool
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