aoc2023/lib/misc.quox
2023-12-01 18:52:23 +01:00

92 lines
2.9 KiB
Text
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

def0 True : ★ = {true}
def0 False : ★ = {}
def0 Not : ★ → ★ = λ A ⇒ ω.A → False
def void : 0.(A : ★) → 0.False → A =
λ A v ⇒ case0 v return A of { }
def0 All : (A : ★) → (0.A → ★) → ★ =
λ A P ⇒ (x : A) → P x
def0 cong :
(A : ★) → (P : 0.A → ★) → (p : All A P) →
(x y : A) → (xy : x ≡ y : A) → Eq (𝑖 ⇒ P (xy @𝑖)) (p x) (p y) =
λ A P p x y xy ⇒ δ 𝑖 ⇒ p (xy @𝑖)
def0 cong' :
(A B : ★) → (f : A → B) →
(x y : A) → (xy : x ≡ y : A) → f x ≡ f y : B =
λ A B ⇒ cong A (λ _ ⇒ B)
def0 coherence :
(A B : ★) → (AB : A ≡ B : ★) → (x : A) →
Eq (𝑖 ⇒ AB @𝑖) x (coe (𝑖 ⇒ AB @𝑖) x) =
λ A B AB x ⇒
δ 𝑗 ⇒ coe (𝑖 ⇒ AB @𝑖) @0 @𝑗 x
def0 eq-f :
0.(A : ★) → 0.(P : 0.A → ★) →
0.(p : All A P) → 0.(q : All A P) →
0.A → ★ =
λ A P p q x ⇒ p x ≡ q x : P x
def funext :
0.(A : ★) → 0.(P : 0.A → ★) → 0.(p q : All A P) →
(All A (eq-f A P p q)) → p ≡ q : All A P =
λ A P p q eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ λ x ⇒ eq x @𝑖
def refl : 0.(A : ★) → (x : A) → x ≡ x : A = λ A x ⇒ δ _ ⇒ x
def sym : 0.(A : ★) → 0.(x y : A) → (x ≡ y : A) → y ≡ x : A =
λ A x y eq ⇒ δ 𝑖 ⇒ comp A (eq @0) @𝑖 { 0 𝑗 ⇒ eq @𝑗; 1 _ ⇒ eq @0 }
def trans : 0.(A : ★) → 0.(x y z : A) →
ω.(x ≡ y : A) → ω.(y ≡ z : A) → x ≡ z : A =
λ A x y z eq1 eq2 ⇒ δ 𝑖
comp A (eq1 @𝑖) @𝑖 { 0 _ ⇒ eq1 @0; 1 𝑗 ⇒ eq2 @𝑗 }
def appω : 0.(A B : ★) → ω.(f : ω.A → B) → [ω.A] → [ω.B] =
λ A B f x ⇒
case x return [ω.B] of { [x'] ⇒ [f x'] }
def app2ω : 0.(A B C : ★) → ω.(f : ω.A → ω.B → C) → [ω.A] → [ω.B] → [ω.C] =
λ A B C f x y ⇒
case x return [ω.C] of { [x'] ⇒
case y return [ω.C] of { [y'] ⇒ [f x' y'] }
}
def getω : 0.(A : ★) → [ω.A] → A =
λ A x ⇒ case x return A of { [x] ⇒ x }
def0 HEq : (A B : ★) → A → B → ★¹ =
λ A B x y ⇒ (AB : A ≡ B : ★) × Eq (𝑖 ⇒ AB @𝑖) x y
def0 Sing : (A : ★) → A → ★ =
λ A x ⇒ (val : A) × [0. val ≡ x : A]
def sing : 0.(A : ★) → (x : A) → Sing A x =
λ A x ⇒ (x, [δ _ ⇒ x])
namespace sing {
def val : 0.(A : ★) → 0.(x : A) → Sing A x → A =
λ A _ sg ⇒
case sg return A of { (x, eq) ⇒ case eq return A of { [_] ⇒ x } }
def0 proof : (A : ★) → (x : A) → (sg : Sing A x) → val A x sg ≡ x : A =
λ A x sg ⇒
case sg return sg' ⇒ val A x sg' ≡ x : A of { (x', eq) ⇒
case eq return eq' ⇒ val A x (x', eq') ≡ x : A of { [eq'] ⇒ eq' }
}
def app : 0.(A B : ★) → 0.(x : A) →
(f : A → B) → Sing A x → Sing B (f x) =
λ A B x f sg ⇒
case sg return Sing B (f x) of { (x_, eq) ⇒
case eq return Sing B (f x) of { [eq] ⇒ (f x_, [δ 𝑖 ⇒ f (eq @𝑖)]) }
}
}