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namespace bool {

def0 Bool : ★ = {true, false}

def if-dep : 0.(P : Bool → ★) → (b : Bool) → ω.(P 'true) → ω.(P 'false) → P b =
  λ P b t f ⇒ case b return b' ⇒ P b' of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f }

def if : 0.(A : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.A → A =
  λ A ⇒ if-dep (λ _ ⇒ A)

def0 if-same : (A : ★) → (b : Bool) → (x : A) → if A b x x ≡ x : A =
  λ A b x ⇒ if-dep (λ b' ⇒ if A b' x x ≡ x : A) b (δ _ ⇒ x) (δ _ ⇒ x)

def if2 : 0.(A B : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.B → if¹ ★ b A B =
  λ A B ⇒ if-dep (λ b ⇒ if-dep¹ (λ _ ⇒ ★) b A B)

def0 T : Bool → ★ = λ b ⇒ if¹ ★ b True False

def dup! : (b : Bool) → [ω. Sing Bool b] =
  λ b ⇒
  case b return b' ⇒ [ω. Sing Bool b'] of {
    'true  ⇒ [('true,  [δ _ ⇒ 'true])];
    'false ⇒ [('false, [δ _ ⇒ 'false])]
  }

def dup : Bool → [ω. Bool] =
  λ b ⇒ appω (Sing Bool b) Bool (λ b' ⇒ sing.val Bool b b') (dup! b)

def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
  λ eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ T (eq @𝑖)) 'true


-- [todo] infix
def and : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a b 'false
def or  : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a 'true b
def not : Bool → Bool = λ b ⇒ if Bool b 'false 'true


def0 not-not : (b : Bool) → not (not b) ≡ b : Bool =
  λ b ⇒
  case b return b' ⇒ not (not b') ≡ b' : Bool
  of { 'true ⇒ δ _ ⇒ 'true; 'false ⇒ δ _ ⇒ 'false }

}

def0 Bool = bool.Bool