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load "misc.quox";
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namespace bool {
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def0 Bool : ★ = {true, false};
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def if-dep : 0.(P : Bool → ★) → (b : Bool) → ω.(P 'true) → ω.(P 'false) → P b =
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λ P b t f ⇒ case b return b' ⇒ P b' of { 'true ⇒ t; 'false ⇒ f };
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def if : 0.(A : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.A → A =
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λ A ⇒ if-dep (λ _ ⇒ A);
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def0 if-same : (A : ★) → (b : Bool) → (x : A) → if A b x x ≡ x : A =
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λ A b x ⇒ if-dep (λ b' ⇒ if A b' x x ≡ x : A) b (δ _ ⇒ x) (δ _ ⇒ x);
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def if2 : 0.(A B : ★) → (b : Bool) → ω.A → ω.B → if¹ ★ b A B =
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λ A B ⇒ if-dep (λ b ⇒ if-dep¹ (λ _ ⇒ ★) b A B);
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def0 T : Bool → ★ = λ b ⇒ if¹ ★ b True False;
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def dup! : (b : Bool) → [ω. Sing Bool b] =
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λ b ⇒ if-dep (λ b ⇒ [ω. Sing Bool b]) b
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[('true, [δ _ ⇒ 'true])]
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[('false, [δ _ ⇒ 'false])];
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def dup : Bool → [ω. Bool] =
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λ b ⇒ appω (Sing Bool b) Bool (λ b' ⇒ sing.val Bool b b') (dup! b);
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def true-not-false : Not ('true ≡ 'false : Bool) =
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λ eq ⇒ coe (𝑖 ⇒ T (eq @𝑖)) 'true;
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-- [todo] infix
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def and : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a b 'false;
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def or : Bool → ω.Bool → Bool = λ a b ⇒ if Bool a 'true b;
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}
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def0 Bool = bool.Bool;
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